关于高一数学教案的范文大全赏析(精选15篇)

精选高一数学教案人教版模板

一、教材

《直线与圆的位置关系》是高中人教版必修2第四章第二节的内容，直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆与圆的位置关系的基础。从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。

二、学情

学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定；且在上节的学习过程中掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式；掌握利用方程组的方法来求直线的交点；具有用坐标法研究点与圆的位置关系的基础；具有一定的数形结合解题思想的基础。

三、教学目标

（一）知识与技能目标：能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系；可以利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法简单判断出直线与圆的关系。

（二）过程与方法目标：经历操作、观察、探索、总结直线与圆的位置关系的判断方法，从而锻炼观察、比较、概括的逻辑思维能力。

（三）情感态度价值观目标：激发求知欲和学习兴趣，锻炼积极探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯。

四、教学重难点

（一）重点：用解析法研究直线与圆的位置关系。

（二）难点：体会用解析法解决问题的数学思想。

五、教学方法

根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持.在教学中采用小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动。

六、教学过程

（一）导入新课

教师借助多媒体创设泰坦尼克号的情景，并从中抽象出数学模型：已知冰山的分布是一个半径为r的圆形区域，圆心位于轮船正西的l处，问，轮船如何航行能够避免撞到冰山呢？如何行驶便又会撞到冰山呢？

教师引导学生回顾初中已经学习的直线与圆的位置关系，将所想到的航行路线转化成数学简图，即相交、相切、相离。

设计意图：在已有的知识基础上，提出新的问题，有利于保持学生知识结构的连续性，同时开阔视野，激发学生的学习兴趣。

（二）新课教学——探究新知

教师提问如何判断直线与圆的位置关系，学生先独立思考几分钟，然后同桌两人为一组交流，并整理出本组同学所想到的思路。在整个交流讨论中，教师既要有对正确认识的赞赏，又要有对错误见解的分析及对该学生的鼓励。

判断方法：

（1）定义法：看直线与圆公共点个数，即研究方程组解的个数，具体做法是联立两个方程，消去x（或y）后所得一元二次方程，判断△和0的大小关系。

（2）比较法：圆心到直线的距离d与圆的半径r做比较。

（三）合作探究——深化新知

教师进一步抛出疑问，对比两种方法，由学生观察实践发现，两种方法本质相同，但比较法只适合于直线与圆，而定义法适用范围更广。教师展示较为基础的题目，学生解答，总结思路。

已知直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1，判断它们的位置关系？

让学生自主探索，讨论交流，并阐述自己的解题思路。

当已知了直线与圆的方程之后，圆心坐标和半径r易得到，问题的关键是如何得到圆心到直线的距离d，他的本质是点到直线的距离，便可以直接利用点到直线的距离公式求d。类比前面所学利用直线方程求两直线交点的方法，联立直线与圆的方程，组成方程组，通过方程组解得个数确定直线与圆的交点个数，进一步确定他们的位置关系。最后明确解题步骤。

（四）归纳总结——巩固新知

为了将结论由特殊推广到一般引导学生思考：

可由方程组的解的＇不同情况来判断：

当方程组有两组实数解时，直线l与圆C相交；

当方程组有一组实数解时，直线l与圆C相切；

当方程组没有实数解时，直线l与圆C相离。

活动：我将抽取两位同学在黑板上扮演，并在巡视过程中对部分学生加以指导。最后对黑板上的两名学生的解题过程加以分析完善。通过对基础题的练习，巩固两种判断直线与圆的位置关系判断方法，并使每一个学生获得后续学习的信心。

（五）小结作业

在小结环节，我会以口头提问的方式：

（1）这节课学习的主要内容是什么？

（2）在数学问题的解决过程中运用了哪些数学思想？

设计意图：启发式的课堂小结方式能让学生主动回顾本节课所学的知识点。也促使学生对知识网络进行主动建构。

作业：在学生回顾本堂学习内容明确两种解题思路后，教师让学生对比两种解法，那种更简捷，明确本节课主要用比较d与r的关系来解决这类问题，对用方程组解的个数的判断方法，要求学生课外做进一步的探究，下一节课汇报。

七、板书设计

我的板书本着简介、直观、清晰的原则，这就是我的板书设计。

高一数学必修1《指数函数》教案

教学目标：

1、知识目标：使学生理解指数函数的定义，初步掌握指数函数的图像和性质。

2、能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察、发现过程使学生懂得理论与实践 的辩证关系，适时渗透分类讨论的数学思想，培养学生的探索发现能力和分析问题、解决问题的能力。

3、情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。

教学重点、难点：

1、 重点：指数函数的图像和性质

2、 难点：底数 a 的变化对函数性质的影响，突破难点的关键是利用多媒体动感显示，通过颜色的区别，加深其感性认识。

教学方法：引导发现教学法、比较法、讨论法

教学过程：

一、事例引入

T：上节课我们学习了指数的运算性质，今天我们来学习与指数有关的函数。什么是函数?

S： --------

T：主要是体现两个变量的关系。我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中的一种。我们来看一种球菌的分裂过程：

C：动画演示(某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------。一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的函数关系式是： y = 2 x )

S，T：(讨论) 这是球菌个数 y 关于分裂次数 x 的函数，该函数是什么样的形式(指数形式)，

从 函数特征分析：底数 2 是一个不等于 1 的正数，是常量，而指数 x 却是变量，我们称这种函数为指数函数点题。

二、指数函数的定义

C：定义： 函数 y = a x (a>0且a≠1)叫做指数函数， x∈R.。

问题 1：为何要规定 a > 0 且 a ≠1?

S：(讨论)

C： (1)当 a <0 时，a x 有时会没有意义，如 a=﹣3 时，当x=

就没有意义;

(2)当 a=0时，a x 有时会没有意义，如x= - 2时，

(3)当 a = 1 时， 函数值 y 恒等于1，没有研究的必要。

巩固练习1：

下列函数哪一项是指数函数( )

A、 y=x 2 B、y=2x 2 C、y= 2 x D、y= -2 x

频道小编推荐：

频道小编推荐：

高一数学必修1《函数的基本性质》教案

频道小编推荐：

频道小编推荐：

高一数学必修1《函数模型及其应用》教案

【内容】建立函数模型刻画现实问题

【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的应用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。在一个具体问题的解决过程中，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成。;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正理解函数模型的应用和在应用过程中函数模型的建立与解决问题的过程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中挖掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的选择与建立。因为建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。

【教学目标】

(1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程.

(2)了解函数模型的广泛应用

(3)通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力

(4)提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度

【重点】了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程,了解函数模型的广泛应用

【难点】建立函数模型刻画现实问题中数据的处理

【教学目标解析】通过对全班学生中抽样得出的样本进行分析和处理,，使学生认识到本节课的重点是利用函数建模刻画现实问题的基本过程和提高解决实际问题的能力,在引导突出重点的同时能过学生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究过程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本过程中让学生亲身体验函数应用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标4)

【学生学习中预期的问题及解决方案预设】

①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的计算速度④计算结束后不进行检验

针对上述可能出现的问题,我在课前课上处理是,课前给学生准备一些坐标纸来提高描点的规范性,同时让学生使用计算器利用小组讨论来进行多人合作以期提高相应计算速度,在解析式得出后引导学生得出的标准应该是只有一个的较好的,不能有很多的标准,这样以期引导学生想到对结果进行筛选从而引出检验.

【教学用具】多媒体辅助教学(ppt、计算机)。

【教学过程】

教学前言：

函数模型是应用最广泛的数学模型之一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决.

【教学过程】

教学前言：

函数模型是应用最广泛的数学模型之一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决.

教学内容师生活动设计意图

探 究 新 知引入：

教师：大家觉得我胖吗?

学生回答

教师：我们在街上见到一个人总是会判断这个人的胖瘦，我们衡量一个人的胖瘦一般是以自己或是他人为标准的，那么我们还见过一些用来计算人胖瘦的式子，目前全世界都使用体重指数(BMI)来衡量一个人胖或不胖：

体重/身高?(以米为单位) BMI在18.5-22.5时属正常范围，BMI大于22.5 为超重，BMI大于30为肥胖。

教师在黑板上计算一下自己的结果。那既然能用一个式子来计算，说明我们可以把这个问题用数学知识来解决，要得到这个式子之类的标准，我们能用一个人的身高和体重来确定吗?

学生回答

教师：当然是找的人越多越好，那我们在课上先少找几个人来研究一下吧，每个小组选一个同学说一下你的身高和体重吧

学生说，教师把相关数据填在用PPT展示的一张表格上

教师：好，有了这些数据我们就可以来研究了，那接下来我们怎么来处理刚收集到的这些数据呢?

学生回答(预期:画散点图连线找函数)

教师：好，大家按小组先画图连线然后讨论一下你们小组认为哪个函数的图像符合

学生活动并回答

教师：好，那大家分一下工，你们几个小组来计算这个函数解析式，那几个小组来计算那个函数解析式……

学生分小组活动……

教师:(把学生算出的式子写在黑板上)大家计算出的解析式为什么会不完全相同呢?

学生回答

教师:我们计算的函数解析式是不是都可以用来刻画这个问题呢?

学生回答

教师:我们要怎么样来检验呢?

学生回答(代入其它的点来验证)

教师:那大家来检验一下哪个模型更符合数据情况

学生分小组进行检验

教师:好了,我们利用刚才收集的数据通过我们的努力得出了一个式子,它也就是符合大家的情况的一个胖瘦的标准,既是我们班的一个标准,能用来衡量其它班的同学吗?那我们来计算一下老师的结果是什么样的.

教师:可见用世界肥胖标准对老师的体重进行的评价和所建立的数学模型计算的结果是基本一致的。由此可见，所建立的模型是大体符合实际情况,看来老师是真得要下定决心减肥了.

教师由生活中常见到的现象引出问题，并引导学生进行思考

学生合作探究、动手实践，借助小组利用数据表格来确定可行的函数模型，并展示自己的结果

教师引导学生对结果进行检验

学生通过计算器与作图,利用小组合作在完成任务的同时形成本节重点并突破难点

通过日常生活的例子引出本节主要内容，来提高学生本节课学习的兴趣,提高小组学习的效率

学生利用小组合作在完成任务的同时形成本节重点的框架:函数刻画实际问题的基本过程.从而实现教学目标1,3,4

课 堂 小 结

教师:我们一起来回忆一下刚才解决问题的过程(引导学生集体回答)

得出：函数建模刻画现实问题的基本过程：(教师用PPT展示)

教师:

①下面大家把自己的数据输入计算一下你的情况是什么样的

②大家在课下可以利用研究性学习的时间,调查一下全年级的同学的身高和体重来研究一下,并进一步体会函数建模来刻画现实问题的基本过程

教师用PPT展示函数建模刻画现实问题的基本过程

教师留下一个扩展性作业，让学生课后完成

学生通过探究从而巩固教学目标1,2,3,4.并形成本节重点.

把问题进行拓展，让学生去亲身体会函数建模刻画现实问题的基本过程,从而巩固了本节教学目标

课 后 反 思

频道小编推荐：

频道小编推荐：

精选高一数学教案人教版模板

一、目的要求

结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念。

二、内容分析

1．这小节继续研究集合的运算，即集合的交、并及其性质。

2．本节课的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念，符号之间的区别与联系。

三、教学过程

复习提问：

1．说出a的意义。

2．填空：如果全集u={x|0≤x＜6，x∈z}，a={1，3，5}，b={1，4}，那么，

a=_________，b=__________。

新课讲解：

1.观察下面两个图的阴影部分，它们同集合a、集合b有什么关系？

2.定义：

（1）交集：a∩b={x∈a，且x∈b}。

（2）并集：a∪b={x∈a，且x∈b}。

3.讲解教科书节例1－例5。

组织讨论：

观察下面表示两个集合a与b之间关系的5个图，根据这些图分别讨论a∩b与a∪b。

（2）中a∩b=φ。

（3）中a∩b=b，a∪b=a。

（4）中a∩b=a，a∪b=b。

（5）中a∩b=a∪b=a=b。

课堂练习：

教科书节第一个练习第1～5题。

拓广引申：

在教科书的例3中，由a={3，5，6，8}，b={4，5，7，8}，得

a∪b={3，5，6，8}∪{4，5，7，8}

={3，4，5，6，7，8}

我们研究一下上面三个集合中的元素的个数问题。我们把有限集合a的元素个数记作card（a）=4，card（b）=4，card（a∪b）=6.

显然，

card（a∪b）≠card（a）+card（b）

这是因为集合中的元素是没有重复现象的，在两个集合的公共元素只能出现一次。那么，怎样求card（a∪b）呢？不难看出，要扣除两个集合的公共元素的个数，即card（a∩b）。在上例中，card（a∩b）=2。

一般地，对任意两个有限集合a，b，有

card（a∪b）=card（a）+card（b）－card（a∩b）。

四、布置作业

1.教科书习题第1～5题。

2.选作：设集合a={x|－4≤x＜2}，b={－1＜x≤3}，c={}。

求a∩b∩c，a∪b∩c。

（a∩b∩c={－1＜x≤0}，a∪b∩c=r）

精选高一数学教案人教版模板

（一）教学目标

1．知识与技能：

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集。

（2）能使用venn图表示集合的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用。

（3）掌握的关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算。

2．过程与方法：

通过对实例的分析、思考，获得并集与交集运算的法则，感知并集和交集运算的实质与内涵，增强学生发现问题，研究问题的创新意识和能力。

3．情感、态度与价值观：

通过集合的并集与交集运算法则的发现、完善，增强学生运用数学知识和数学思想认识客观事物，发现客观规律的兴趣与能力，从而体会数学的应用价值。

（二）教学重点与难点

重点：交集、并集运算的含义，识记与运用。

难点：弄清交集、并集的含义，认识符号之间的区别与联系。

（三）教学方法

在思考中感知知识，在合作交流中形成知识，在独立钻研和探究中提升思维能力，尝试实践与交流相结合。

（四）教学过程

教学环节教学内容师生互动设计意图。

提出问题引入新知思考：观察下列各组集合，联想实数加法运算，探究集合能否进行类似“加法”运算。

（1）a={1，3，5}，b={2，4，6}，c={1，2，3，4，5，6}

（2）a={x|x是有理数}，

b={x|x是无理数}，

c={x|x是实数}.

师：两数存在大小关系，两集合存在包含、相等关系；实数能进行加减运算，探究集合是否有相应运算.

生：集合a与b的元素合并构成c.

师：由集合a、b元素组合为c，这种形式的组合就是为集合的并集运算.生疑析疑，

导入新知

形成

概念

思考：并集运算.

集合c是由所有属于集合a或属于集合b的元素组成的，称c为a和b的并集.

定义：由所有属于集合a或集合b的元素组成的集合.称为集合a与b的并集；记作：a∪b；读作a并b，即a∪b={x|x∈a，或x∈b}，venn图表示为：

师：请同学们将上述两组实例的共同规律用数学语言表达出来.

学生合作交流：归纳→回答→补充或修正→完善→得出并集的定义.在老师指导下，学生通过合作交流，探究问题共性，感知并集概念，从而初步理解并集的含义.

应用举例例1设a={4，5，6，8}，b={3，5，7，8}，求a∪b.

例2设集合a={x|–1＜x＜2}，集合b={x|1＜x＜3}，求a∪b.

例1解：a∪b={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}.

例2解：a∪b={x|–1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3}={x=–1＜x＜3}.

师：求并集时，两集合的相同元素如何在并集中表示.

生：遵循集合元素的互异性.

师：涉及不等式型集合问题.

注意利用数轴，运用数形结合思想求解.

生：在数轴上画出两集合，然后合并所有区间.同时注意集合元素的互异性.学生尝试求解，老师适时适当指导，评析.

固化概念

提升能力

探究性质①a∪a=a，②a∪=a，

③a∪b=b∪a，

④∪b，∪b.

老师要求学生对性质进行合理解释.培养学生数学思维能力.

形成概念自学提要：

①由两集合的所有元素合并可得两集合的并集，而由两集合的公共元素组成的集合又会是两集合的一种怎样的运算？

②交集运算具有的运算性质呢？

交集的定义.

由属于集合a且属于集合b的所有元素组成的集合，称为a与b的交集；记作a∩b，读作a交b.

即a∩b={x|x∈a且x∈b}

venn图表示

老师给出自学提要，学生在老师的引导下自我学习交集知识，自我体会交集运算的含义.并总结交集的性质.

生：①a∩a=a；

②a∩=；

③a∩b=b∩a；

④a∩，a∩.

师：适当阐述上述性质.

自学辅导，合作交流，探究交集运算.培养学生的自学能力，为终身发展培养基本素质.

应用举例例1（1）a={2，4，6，8，10}，

b={3，5，8，12}，c={8}.

（2）新华中学开运动会，设

a={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，

b={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求a∩b.

例2设平面内直线l1上点的集合为l1，直线l2上点的集合为l2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系.学生上台板演，老师点评、总结.

例1解：（1）∵a∩b={8}，

∴a∩b=c.

（2）a∩b就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.所以，a∩b={x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.

例2解：平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合.

（1）直线l1，l2相交于一点p可表示为l1∩l2={点p}；

（2）直线l1，l2平行可表示为

l1∩l2=；

（3）直线l1，l2重合可表示为

l1∩l2=l1=l2.提升学生的动手实践能力.

归纳总结并集：a∪b={x|x∈a或x∈b}

交集：a∩b={x|x∈a且x∈b}

性质：①a∩a=a，a∪a=a，

②a∩=，a∪=a，

③a∩b=b∩a，a∪b=b∪a.学生合作交流：回顾→反思→总理→小结

老师点评、阐述归纳知识、构建知识网络

课后作业第三课时习案学生独立完成巩固知识，提升能力，反思升华

备选例题

例1已知集合a={–1，a2+1，a2–3}，b={–4，a–1，a+1}，且a∩b={–2}，求a的值.

解析法一：∵a∩b={–2}，∴–2∈b，

∴a–1=–2或a+1=–2，

解得a=–1或a=–3，

当a=–1时，a={–1，2，–2}，b={–4，–2，0}，a∩b={–2}.

当a=–3时，a={–1，10，6}，a不合要求，a=–3舍去

∴a=–1.

法二：∵a∩b={–2}，∴–2∈a，

又∵a2+1≥1，∴a2–3=–2，

解得a=±1，

当a=1时，a={–1，2，–2}，b={–4，0，2}，a∩b≠{–2}.

当a=–1时，a={–1，2，–2}，b={–4，–2，0}，a∩b={–2}，∴a=–1.

例2集合a={x|–1＜x＜1}，b={x|x＜a}，

（1）若a∩b=，求a的取值范围；

（2）若a∪b={x|x＜1}，求a的取值范围.

解析（1）如下图所示：a={x|–1＜x＜1}，b={x|x＜a}，且a∩b=，

∴数轴上点x=a在x=–1左侧.

∴a≤–1.

（2）如右图所示：a={x|–1＜x＜1}，b={x|x＜a}且a∪b={x|x＜1}，

∴数轴上点x=a在x=–1和x=1之间.

∴–1＜a≤1.

例3已知集合a={x|x2–ax+a2–19=0}，b={x|x2–5x+6=0}，c={x|x2+2x–8=0}，求a取何实数时，a∩b与a∩c=同时成立？

解析b={x|x2–5x+6=0}={2，3}，c={x|x2+2x–8=0}={2，–4}.

由a∩b和a∩c=同时成立可知，3是方程x2–ax+a2–19=0的解.将3代入方程得a2–3a–10=0，解得a=5或a=–2.

当a=5时，a={x|x2–5x+6=0}={2，3}，此时a∩c={2}，与题设a∩c=相矛盾，故不适合.

当a=–2时，a={x|x2+2x–15=0}={3，5}，此时a∩b与a∩c=，同时成立，∴满足条件的实数a=–2.

例4设集合a={x2，2x–1，–4}，b={x–5，1–x，9}，若a∩b={9}，求a∪b.

解析由9∈a，可得x2=9或2x–1=9，解得x=±3或x=5.

当x=3时，a={9，5，–4}，b={–2，–2，9}，b中元素违背了互异性，舍去.

当x=–3时，a={9，–7，–4}，b={–8，4，9}，a∩b={9}满足题意，故a∪b={–7，–4，–8，4，9}.

当x=5时，a={25，9，–4}，b={0，–4，9}，此时a∩b={–4，9}与a∩b={9}矛盾，故舍去.

综上所述，x=–3且a∪b={–8，–4，4，–7，9}.

精选高一数学教案人教版模板

一、教材分析及处理

函数是高中数学的重要内容之一，函数的基础知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用；函数与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切；函数是近一步学习数学的重要基础知识；函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，《函数》教学设计。

对函数概念本质的理解，首先应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念.其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质。

教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的理解。

学生现状：

学生在第一章的时候已经学习了集合的概念，同时在初中时已学过一次函数、反比例函数和二次函数，那么如何用集合知识来理解函数概念，结合原有的知识背景，活动经验和理解走入今天的课堂，如何有效地激活学生的学习兴趣，让学生积极参与到学习活动中，达到理解知识、掌握方法、提高能力的目的，使学生获得有益有效的学习体验和情感体验，是在教学设计中应思考的。

二、教学三维目标分析

1、知识与技能（重点和难点）：

（1）、通过实例让学生能够进一步体会到函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。并且在此基础上学习应用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。不但让学生能完成本节知识的学习，还能较好的复习前面内容，前后衔接。

（2）、了解构成函数的三要素，缺一不可，会求简单函数的定义域、值域、判断两个函数是否相等等。

（3）、掌握定义域的表示法，如区间形式等。

（4）、了解映射的概念。

2、过程与方法：

函数的概念及其相关知识点较为抽象，难以理解，学习中应注意以下问题：

（1）、首先通过多媒体给出实例，在让学生以小组的形式开展讨论，运用猜想、观察、分析、归纳、类比、概括等方法，探索发现知识，找出不同点与相同点，实现学生在教学中的主体地位，培养学生的创新意识。

（2）、面向全体学生，根据课本大纲要求授课。

（3）、加强学法指导，既要让学生学会本节知识点，也要让学生会自我主动学习。

3、情感态度与价值观：

（1）、通过多媒体给出实例，学生小组讨论，给出自己的结论和观点，加上老师的辅助讲解，培养学生的实践能力和和大胆创新意识，教案《《函数》教学设计》。

（2）、让学生自己讨论给出结论，培养学生的自我动手能力和小组团结能力。

三、教学器材

多媒体ppt课件。

四、教学过程

教学内容教师活动学生活动设计意图。

《函数》课题的引入（用时一分钟）配着简单的音乐，从简单的例子引入函数应用的广泛，将同学们的视线引入函数的学习上听着悠扬的音乐，让同学们的视线全注意在老师所讲的内容上从贴近学生生活入手，符合学生的认知特点。让学生在领略大自然的美妙与和谐中进入函数的世界，体现了新课标的理念：从知识走向生活

知识回顾：

初中所学习的函数知识（用时两分钟）回顾初中函数定义及其性质，简单回顾一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数的性质、定义及简单作图认真听老师回顾初中知识，发现异同在初中知识的基础上引导学生向更深的内容探索、求知。即复习了所学内容又做了即将所学内容的铺垫

思考与讨论：

通过给出的问题，引出本节课的主要内容（用时四分钟）给出两个简单的问题让同学们思考，讲述初中内容无法给出正确答案，需要从新的高度来认识函数结合老师所回顾的知识，结合自己所掌握的知识，思考老师给出的问题，小组形式作讨论，从简单问题入手，循序渐进，引出本节主要知识，回顾前一节的集合感念，应用到本节知识，前后联系、衔接新知识的讲解：从概念开始讲解本节知识（用时三分钟）详细讲解函数的知识，包括定义域，值域等，回到开始提问部分作答做笔记，专心听讲讲解函数概念，由知识讲解回到问题身上，解决问题。

对提问的回答（用时五分钟）引导学生自己解决开始所提的两个问题，然后同个互动给出最后答案通过与老师共同讨论回答开始问题，总结更好的掌握函数概念，通过问题来更好的掌握知识。

函数区间（用时五分钟）引入函数定义域的表示方法简洁明了的方法表示函数的定义域或值域，在集合表示方法的基础上引入另一种方法。

注意点（用时三分钟）做个简单的的回顾新内容，把难点重点提出来，让同学们记住通过问题回答，概念解答，把重难点给出，提醒学生注意内容和知识点。

习题（用时十分钟）给出习题，分析题意在稿纸上简单作答，回答问题通过习题练习明确重难点，把不懂的地方记住，课后学生在做进一步的联系。

映射（用时两分钟）从概念方面讲解映射的意义，象与原象在新知识的基础上了解更多知识，映射的学习给以后的知识内容做更好的铺垫。

小结（用时五分钟）简单讲述本节的知识点，重难点做笔记前后知识的连贯，总结，使学生更明白知识点。

五、教学评价

为了使学生了解函数概念产生的背景，丰富函数的感性认识，获得认识客观世界的体验，本课采用＂突出主题，循序渐进，反复应用＂的方式，在不同的场合考察问题的不同侧面，由浅入深。本课在教学时采用问题探究式的教学方法进行教学，逐层深入，这样使学生对函数概念的理解也逐层深入，从而准确理解函数的概念。函数引入中的三种对应，与初中时学习函数内容相联系，这样起到了承上启下的作用。这三种对应既是函数知识的生长点，又突出了函数的本质，为从数学内部研究函数打下了基础。

在培养学生的能力上，本课也进行了整体设计，通过探究、思考，培养了学生的实践能力、观察能力、判断能力；通过揭示对象之间的内在联系，培养了学生的辨证思维能力；通过实际问题的解决，培养了学生的分析问题、解决问题和表达交流能力；通过案例探究，培养了学生的创新意识与探究能力。

虽然函数概念比较抽象，难以理解，但是通过这样的教学设计，学生基本上能很好地理解了函数概念的本质，达到了课程标准的要求，体现了课改的教学理念。

精选高一数学教案人教版模板

一、教材分析

1、教学内容

本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。

2、教材的地位和作用

函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。

3、教材的重点﹑难点﹑关键

教学重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。明确单调性是一个局部概念。

教学难点：领会函数单调性的实质与应用，明确单调性是一个局部的概念。

教学关键：从学生的学习心理和认知结构出发，讲清楚概念的形成过程。

4、学情分析

高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。从学生的认知结构来看，他们只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性，发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中注意加强。

二、目标分析

（一）知识目标：

1、知识目标：理解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法；了解函数单调区间的概念，并能根据函数图象说出函数的单调区间。

2、能力目标：通过证明函数的单调性的学习，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会数学的归纳转化的思想方法，增加学生的知识联系，增强学生对知识的主动构建的能力。

3、情感目标：让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，以此激发求知欲望。领会用运动变化的观点去观察分析事物的方法。通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的思想教育。

（二）过程与方法

培养学生严密的逻辑思维能力以及用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质，通过函数的单调性的学习，掌握自变量和因变量的关系。通过多媒体手段激发学生学习兴趣，培养学生发现问题、分析问题和解题的逻辑推理能力。

三、教法与学法

1、教学方法

在教学中，要注重展开探索过程，充分利用好函数图象的直观性、发挥多媒体教学的优势。本节课采用问答式教学法、探究式教学法进行教学，教师在课堂中只起着主导作用，让学生在教师的提问中自觉的发现新知，探究新知，并且加入激励性的语言以提高学生的积极性，提高学生参与知识形成的全过程。

2、学习方法

自我探索、自我思考总结、归纳，自我感悟，合作交流，成为本节课学生学习的主要方式。

四、过程分析

本节课的教学过程包括：问题情景，函数单调性的定义引入，增函数、减函数的定义，例题分析与巩固练习，回顾总结和课外作业六个板块。这里分别就其过程和设计意图作一一分析。

（一）问题情景

为了激发学生的学习兴趣，本节课借助多媒体设计了多个生活背景问题，并就图表和图象所提供的信息，提出一系列问题和学生交流，激发学生的学习兴趣和求知欲望，为学习函数的单调性做好铺垫。（祥见课件）

新课程理念认为：情境应贯穿课堂教学的始终。本节课所创设的生活情境，让学生亲近数学，感受到数学就在他们的周围，强化学生的感性认识，从而达到学生对数学的理解。让学生在课堂的一开始就感受到数学就在我们身边，让学生学会用数学的眼光去关注生活。

（二）函数单调性的定义引入

1、几何画板动画演示，请学生认真观察，并回答问题：通过学生已学过的函数y=2x+4，的图象的动态形式形象出x、y间的变化关系，使学生对函数单调性有感性认识。，进行比较，分析其变化趋势。并探讨、回答以下问题：

问题1、观察下列函数图象，从左向右看图象的变化趋势？

问题2：你能明确说出“图象呈上升趋势”的意思吗？

通过学生的交流、探讨、总结，得到单调性的“通俗定义”：

从在某一区间内当x的值增大时，函数值y也增大，到图象在该区间内呈上升趋势再到如何用x与f（x）来描述上升的图象？

通过问题逐步向抽象的定义靠拢，将图形语言转化为数学符号语言。几何画板的灵活使用，数形有机结合，引导学生从图形语言到数学符号语言的翻译变得轻松。

设计意图：通过学生熟悉的知识引入新课题，有利于激发学生的学习兴趣和学习热情，同时也可以培养学生观察、猜想、归纳的思维能力和创新意识，增强学生自主学习、独立思考，由学会向会学的转化，形成良好的思维品质。通过学生已学过的一次y=2x+4，的图象的动态形式形象地反映出x、y间的变化关系，使学生对函数单调性有感性认识。从学生的原有认知结构入手，探讨单调性的概念，符合“最近发展区的理论”要求。从图形、直观认识入手，研究单调性的概念，其本身就是研究、学习数学的一种方法，符合新课程的理念。

（三）增函数、减函数的定义

在前面的基础上，让学生讨论归纳：如何使用数学语言来准确描述函数的单调性？在学生回答的基础上，给出增函数的概念，同时要求学生讨论概念中的关键词和注意点。

定义中的“当x1x2时，都有f（x1）。

注意：

（1）函数的单调性也叫函数的增减性；

（2）注意区间上所取两点x1，x2的任意性；

（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。

让学生自已尝试写出减函数概念，由两名学生板演。提出单调区间的概念。

设计意图：通过给出函数单调性的严格定义，目的是为了让学生更准确地把握概念，理解函数的单调性其实也叫做函数的增减性，它是对某个区间而言的，它是一个局部概念，同时明确判定函数在某个区间上的单调性的一般步骤。这样处理，同时也是让学生感悟、体验学习数学感念的方法，提高其个性品质。

（四）例题分析

在理解概念的基础上，让学生总结判别函数单调性的方法：图象法和定义法。

2、例2、证明函数在区间（—∞，+∞）上是减函数。

在本题的解决过程中，要求学生对照定义进行分析，明确本题要解决什么？定义要求是什么？怎样去思考？通过自己的解决，总结证明单调性问题的一般方法。

变式一：函数f（x）=—3x+b在R上是减函数吗？为什么？

变式二：函数f（x）=kx+b（k<0）在R上是减函数吗？你能用几种方法来判断。

变式三：函数f（x）=kx+b（k<0）在R上是减函数吗？你能用几种方法来判断。

错误：实质上并没有证明，而是使用了所要证明的结论。

例题设计意图：在理解概念的基础上，让学生总结判别函数单调性的方法：图象法和定义法。例1是教材中例题，它的解决强化学生应用数形结合的思想方法解题的意识，进一步加深对概念的理解，同时也是依托具体问题，对单调区间这一概念的再认识；要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。例2是教材练习题改编，通过师生共同总结，得出使用定义证明的一般步骤：任取—作差（变形）—定号—下结论，通过例2的解决是学生初步掌握运用概念进行简单论证的基本方法，强化证题的规范性训练，从而提高学生的推理论证能力。例3是教材例2抽象出的数学问题。目的是进一步强化解题的规范性，提高逻辑推理能力，同时让学生学会一些常见的变形方法。

（五）巩固与探究

1、教材p36练习2，3

2、探究：二次函数的单调性有什么规律？

（几何画板演示，学生探究）本问题作为机动题。时间不允许时，就为课后思考题。

设计意图：通过观察图象，对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。

通过课堂练习加深学生对概念的理解，进一步熟悉证明或判断函数单调性的方法和步骤，达到巩固，消化新知的目的。同时强化解题步骤，形成并提高解题能力。对练习的思考，让学生学会反思、学会总结。

（六）回顾总结

通过师生互动，回顾本节课的概念、方法。本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明。

设计意图：通过小结突出本节课的重点，并让学生对所学知识的结构有一个清晰的认识，学会一些解决问题的思想与方法，体会数学的和谐美。

（七）课外作业

1、教材p43习题1。3A组1（单调区间），2（证明单调性）；

2、判断并证明函数在上的单调性。

3、数学日记：谈谈你本节课中的收获或者困惑，整理你认为本节课中的最重要的知识和方法。

设计意图：通过作业1、2进一步巩固本节课所学的增、减函数的概念，强化基本技能训练和解题规范化的训练，并且以此作为学生对本结内容各项目标落实的评价。新课标要求：不同的学生学习不同的数学，在数学上获得不同的发展。作业3这种新型的作业形式是其很好的体现。

（八）板书设计（见ppt）

五、评价分析

有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上，因此在教学设计过程中注意了：第一。教要按照学的法子来教；第二在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”；第三。强化了重探究、重交流、重过程的课改理念。让学生经历“创设情境——探究概念——注重反思——拓展应用——归纳总结”的活动过程，体验了参与数学知识的发生、发展过程，培养“用数学”的意识和能力，成为积极主动的建构者。

本节课围绕教学重点，针对教学目标，以多媒体技术为依托，展现知识的发生和形成过程，使学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣，并注重数学科学研究方法的学习，是顺应新课改要求的，是研究性教学的一次有益尝试。

高一数学《用二分法求方程的近似解》教案

教学目标

知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.

过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备.

情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.

教学重点

通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.

教学难点

恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.

教材分析

本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.

学情分析

通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系;在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作.

教学媒体分析

多媒体微机室、Authorware7.02中文版、几何画板4.06中文版、Microsoft Excel、QBASIC语言应用程序

教学方法

动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践

教学环节设计流程图

教学设计理念

1.构建共同基础，提供发展平台;

2.提供多样解法，适应个性选择;

3.倡导积极主动、勇于探索的学习方式;

4.注重提高学生的数学思维能力;

5.发展学生的数学应用意识;

6.与时俱进地认识“双基”;

7.强调本质，注意适度形式化;

8.体现数学的文化价值;

9.注重信息技术与数学课程的整合;

10.建立合理、科学的评价体系.

教学过程与操作设计：

环节

教学内容设计

师生双边互动

信息技术应用

中外历史上的方程求解

在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.

由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点(即的根)，对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法(二次时，称为求根公式).我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在《九章算术》，北宋数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》，南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载.在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果.1824年，挪威年轻数学家阿贝尔(N. H. Abel，1802-1829)成功地证明了五次以上一般方程没有根式解.1828年，法国天才数学家伽罗瓦(E.Galois，1811-1832)巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程.人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题.

师：介绍中外历史上的方程求解问题，从高次代数方程解的探索历程引导学生认识引入二分法的意义，从而引入课题.

生：感受到数学文化方面的熏陶，最大限度的调动学生的学习兴趣，提高学习的积极性和主动性.

Authorware7.02课件展示

这节课就让我们来共同学习一下 §3.1.2《用二分法求方程的近似解》

想一想

我们已经知道，函数在区间(2，3)内有零点，且<0，>0.进一步的问题是，如何找出这个零点?

做一做

第一步：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)≈-0.084.因为 (2.5)·<0，所以零点在区间(2.5，3)内.

第二步：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得(2.75)≈0.512. 因为 (2.5)·(2.75)<0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.

结论:由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见下表和图)

师：一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，下面我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.

师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法.

生：用计算器算得

(2.5)≈-0.084

(2.75)≈0.512

几何画板4.06中文版演示计算结果

师：这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.

例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将=2.53125作为函数零点的近似值，也即方程根的近似值.

Authorware7.02课件展示

议一议：你能说出二分法的意义及用二分法求函数零点近似值的步骤吗?

1.二分法的意义

对于在区间[，]上连续不断且满足·<0的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).

2.给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：

(1)确定区间，，验证·<0，给定精确度;

(2)求区间，的中点;

(3)计算：

1若=，则就是函数的零点;

2若·<0，则令=(此时零点);

3若·<0，则令=(此时零点);

(4)判断是否达到精确度;即若<，则得到零点近似值(或);否则重复步骤2-4.

结论: 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.

思考：为什么由<，便可判断零点的近似值为(或)?

师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤.

师：分析条件

“·<0”、“精确度”、“区间中点”及“<”的意义.

生：结合求函数

在区间(2，3)内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理.

Authorware7.02课件展示

由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以借助几何画板4.06中文版软件和Microsoft Excel软件来完成计算.

我们还是以求函数的零点为例

学生在教师引导下操作

师：

第一步：打开几何画板4.06中文版软件.

第二步：点击工具栏中的“图表”，选中“绘制新函数(Ctrl+G)”，或在工作区中点击右键，选中“绘制新函数”.

第三步：在弹出的对话框中输入

，点击“确定”.

几何画板4.06中文版

环节

教学内容设计

师生双边互动

信息技术应用

第四步：观察函数图象，确定零点所在的大致区间为(2，3).

几何画板4.06中文版

第五步:打开

Microsoft Excel软件

第六步: 分别在单元格A1、B1、C1输入、、

精确度，在C2输入0.5，分别在A2、A3输入2、2.5，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值4时为止，完成自动填充.

Microsoft Excel软件

环节

教学内容设计

师生双边互动

信息技术应用

第七步: 在B2单元格点击“粘贴函数”，

输入函数值公式

“=lnA2+2*A2-6”，得到与A2相应的函数值.

第八步:然后双击(或拖动)B2的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值.

生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，3)内.

第九步：重复上述操作：将A1、B1、C1复制到A7、B7、C7，把精确度设为0.25，在A8、B9分别输入2.5、2.75，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值3.25时为止，完成自动填充.复制B2到B8，得到与A8相应的函数值，然后双击(或拖动)B8的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值.

生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，2.75)内.

Microsoft Excel软件

环节

教学内容设计

师生双边互动

信息技术应用

结论：借助信息技术求方程近似解(函数零点)的步骤如下：

1.利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间;

2.利用然后用Microsoft Excel软件逐步计算解答.

第十步：重复上述过程，将精确度设为上次操作的一半，直到小于0.01为止，特别地，这时可以将区间端点作为零点的近似值.

生：观察所得

函数值，并且精确度为

0.0078125<0.01，所以零点在区间(2.53125 ，2.5390625)内，

*=2.53125可以为函数的零点.

生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程近似解的方法，并进行讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论.

Microsoft Excel软件

例题：借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解(精确度0.1)

解：(略). 打开几何画板 打开Excel

尝试练习：

1. 借助计算器或计算机，用二分法求函数

的零点(精确度0.1)

2. 借助计算器或计算机，用二分法求方程 的近似值(精确度0.01)

师：首先利用几何画板4.06中文版软件画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间，然后用Microsoft Excel软件逐步计算解答.

生：独立完成解答，并进行交流、讨论、评析.

Authorware7.02课件展示

几何画板4.06中文版

Microsoft Excel软件

我们也可以借助QBASIC语言编写一定的程序来求方程的近似解.(精确到0.01)

程序框图：

师：介绍学生感兴趣的计算机编程问题，渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.

Authorware7.02课件展示

环节

教学内容设计

师生双边互动

信息技术应用

程序语句：

INPUT “，，=”;，，

DO

*=(+)/2

=LOG()+2*-6

=LOG(*)+2**-6

IF *>0 THEN

=*

ELSE

=*

END IF

LOOP UNTIL ABS(-) < OR =0

PRINT

END

打开QBASIC文件

师：输入零点的大致区间和精确度，执行程序，检验程序运行结果的正确性.

QBASIC语言

应用程序

1.有兴趣的同学可以自学QBASIC语言或其他计算机语言，编写程序，来检验做题结果正确与否.

2.查找有关资料或利用Internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)，增强探索精神，培养创新意识.3.谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识? 将你这节课的收获与感受写成一篇小报告或小论文的形式，发表在学校的数学论坛上.

师：继续激发学生学习数学的热情;感受数学文化方面的熏陶;充分地利用学校资源进行后续学习和交流.

Authorware7.02课件展示

频道小编推荐：

频道小编推荐：

高一数学必修1《幂函数》教案

频道小编推荐：

频道小编推荐：

高一数学《圆锥曲线中的最值问题》教学设计

一、内容与内容解析

圆锥曲线的单元复习的基础内容包括椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系,在掌握以上一些陈述性知识和程序性知识的基础上，再学习圆锥曲线的一些综合应用.

在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，而在变化中，往往重点关注变化中不变的量或关系，以及变量的变化趋势，由此产生圆锥曲线中的定点、定值问题，圆锥曲线的中的参数取值范围问题，圆锥曲线中的最值问题等.

圆锥曲线的最值问题是本单元复习综合性较强的内容.重点研究变化的距离、弦长、角度、面积、斜率、定比等几何量的最值及相关问题.本课重点是借助对常见的距离问题等的研究提炼出解决此类问题的思想方法和基本策略，并能进行简单的应用.

解决圆锥曲线的最值问题，不仅要用到圆锥曲线定义、方程、几何性质，还常用到函数、方程、不等式及三角函数等重要知识，综合性强，联系性广,策略性要求高.其基本的思想是函数思想和数形结合思想，基本策略主要是代数和几何两个角度分析. 由于圆锥曲线是几何图形，研究的量也往往是几何量，因此借助几何性质，利用几何直观来分析是优先选择;但几何直观往往严谨性不强，难以细致入微，在解析几何中需要借助代数的工具来实现突破.

几何方法主要结合图形的几何特征，借助圆锥曲线的定义以及平面几何知识作直接论证及判断;代数方法主要是将几何量及几何关系用代数形式表示,通过设动点坐标或动直线的方程，将目标表示为变量的函数，从而转化为函数的最值问题，再借助函数、方程、不等式等知识解决问题.

二、教学问题诊断

圆锥曲线的最值问题的解决，涉及的知识面广，需要综合运用圆锥曲线、平面几何、代数等相关知识，还需要较强的运算技能和分析问题解决问题的能力.

在本课的学习中，学生可能存在的问题有：知识的联系性和系统性较弱，难以调动众多的知识合理地解决问题;运算能力不强，算得慢，易算错，影响问题解决的执行力;问题解决的策略性不强，就题论题，对问题的数学本质认识模糊等现象.再加上学生对复习课的认识比较片面，对复习课缺乏新鲜感。

在教学中，可以从简单的问题(或者教材中的问题)出发，通过问题的提出、问题的拓展、问题的变式等措施，使学生对圆锥曲线最值问题的本质特征有更新、更深的认识，同时激发学生学习的积极性;在教学中，通过学生对一类问题的主动思考、交流互动、反思提炼，构建知识体系，形成基本技能，关注数学本质，体验与感悟问题解决的策略。

为了更好地加强策略性知识的学习，教学中可一题多用，减少问题解决的运算量,使学生在关键点加强思考与交流，有更多的时间进行创造性的实践与反思.

三、目标与目标解析：

1.进一步理解圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质，会求解椭圆、抛物线的相关变量的最值问题，并形成一定的方法;

2.进一步体会“解析法”思想，会从代数与几何两个角度分析和解决曲线的最值问题，并会进行合理的选择;

3.在问题的提出、分析、解决的过程，进一步形成圆锥曲线最值问题的方法体系和数学思想，形成处理最值问题的基本策略,养成质疑和创新的意识.

解决问题后需要重构认知结构，对知识间的联系有新的认识，并在操作中形成技能;会通过反思与交流，感悟并提炼重要的数学思想;在具体的最值问题中，能根据问题的结构有意识地选择几何或代数的策略，并进行具体的操作.

四、教学支持条件分析

由于圆锥曲线的最值问题涉及到图形运动和数量变化，学生往往缺乏对问题的直觉把握和深切的感受，教学中可通过几何画板、TINspire图形计算器、GeoGebra等软件，直观地呈现数、式、形的联动变化，使学生逐步形成多元联系的观点.

对于一些的运算，可以利用TINspire CAS代数运算系统，帮助学生在课堂上降低运算的难度，减少运算的时间，更深入地体会数学的本质.

五、教学过程设计

(一) 提出问题解决问题形成初步经验

圆锥曲线中求一些变量的最值，是一类常见的问题，如何根据这类问题的特点，寻求相应的解题策略是我们本课研究的重点.

请大家做一做问题一.并与同学交流，进行解题后的反思.

问题一 已知F(0,1),M(0,3),N(3,0), P是抛物线 上的一动点，

(1)求|PF|的最小值;

(2)求|PM|的最小值;

(3)求|PM|+|PN|的最小值.

反思： (1)通过问题一的解决，你能否总结出解决此类问题的基本策略?体现了怎样的数学思想?

(2)你能对每一种策略，总结出明确的操作步骤吗?

(3)面对具体问题时如何选择相应的策略，你有了怎样的经验?

设计意图：

问题一入口简单，计算容易，在方法上有回归定义，构造函数，几何论证等典型方法。让学生先做，一方面是了解学生学习水平，诊断学生学习中存在的问题;另一方面，通过学生的做，让学生对此类问题及其解法有切身的感受与体验.

注重学生在解题后的反思活动，通过相互的交流和表达，对解决的策略进行反思提炼，并作进一步的明确，是使策略性知识内化的重要过程.

预设：解决圆锥曲线中的最值问题主要有两种策略：

一是几何方法：根据图形的特点，借助圆锥曲线的定义及几何图形的一些性质，进行直接判断.

二是代数方法：核心是函数思想，具体步骤：设参变量，找关系，建立目标函数，求函数的最值.

一般地，当条件中几何关系比较明显时，可借助几何直观，否则选用代数的方法.

(二)了解策略简单应用形成基本技能

你能否用前面所总结的解题策略来解决下列问题：

问题二 练一练

(1)点P是抛物线C： 上的动点,F是抛物线C的焦点，M(2,4),则 的最小值为 .

(2)若P，Q分别椭圆 与圆 上的两个动点，则

的最小值和最大值分别为 ， .

设计意图：

题(1)是动点到两定点的距离的最值问题，由于涉及到抛物线上的点到焦点的距离问题，可以利用抛物线的定义转化为点P到准线 的距离,从而利用平面几何中点到直线的所有距离中垂线段最短的结论得到问题结果.解决此类问题，要求学生有结合曲线的几何性质进行转化与化归的能力.

题(2)对象涉及椭圆与圆，目标是动点到动点的距离最值问题，与问题一相比在结构上有较大差异;设计成填空题的形式可以引导学生优先选择图形直观解决问题，同时强调推导需要理性，本题先借助“形”的结构特点，得到 ，从而将问题转化为求椭圆上动点P到定点M(0,3)的距离的最值问题，进而从代数的角度，设点的坐标，建立目标函数进行求解.

实际教学中学生易凭直觉判断，需要进行适当的变式.如“压扁椭圆”使学生直观地感知错误，促进学生进行反思并调整策略.

图3

有学生用“曲率”来进行说明,

也可以用同心圆来直觉猜想，

最简单的方法还是用代数法函数思想分析.

(三)问题变式策略优化形成能力

问题三. 议一议

点M(0,3)的直线与椭圆 交于P,Q两个不同点,若 ,

求数 的取值范围.

分析：先审题：(1)谁在动?目标量是谁?(2)动直线有限制条件吗?(3)动直线确定时，P，Q的位置确定吗?不同的位置对目标量 的值是否会有影响?

预设：本题若从代数的角度求解，当直线斜率存在时，设直线的斜率 为参变量，则将 代入 ，得

.

可得 .

(1)若直接求出方程的两根，

则 .

(2)若设 ，则

但若从几何的角度，却有意外的惊喜!

设计意图:可以建立 与斜率 的等量关系，再由 的范围求 的取值范围，也可以利用问题2的结论从几何的角度直接判断.同样的思想方法,可以训练学生的学习能力,形成解决问题的策略.

实际教学中，学生更多选择代数方法，只有三个同学选择几何法，学生一利用了练习二的结论 ，但这里事实上对一般的问题有个方法上的漏洞，教师可以提出质疑：当椭圆足够扁时， 的最小值点和最大值点不共线，还能用类似的几何方法处理吗?

其实同样只需再换一个角度就可以顺利解决，用几何画板演示 的变化即可.

练一练

直线y=kx(k>0)与椭圆 交于P,Q两点,A,B分别是椭圆的右、上顶点, 则四边形APBQ面积的最大值为

你能说明理由吗?谈谈你的解题思路，并与同学议一议，了解一些不同的思路.

设计意图：本题的目标量是四边形的面积，需要借助三角形的面积，转化为距离问题进行求解.由此产生不同的策略.

如1： ，以 为参数构建目标函数;

如2： ，以P点的坐标为参数建立目标函数;

如3： ，以P点坐标为参数，建立目标函数.

如4：以思路2为基础，可以通过几何直观判断面积的最大值，即求P,Q两点到直线AB的距离之和的最大值，即为平行于AB且与椭圆相切的两直线之间的距离.

通过交流，了解不同的解法，使学生进一步体会两种策略的灵活运用，提升解题能力.

有学生提出两种几何法(1)如4;(2)较有创意：将椭圆通过伸缩变换成为圆，先解决圆中的四边形面积最大问题，再进行还原!

(四)反思小结策略内化

本节课的学习，你有什么收获?

(1)你认为解决最值问题有哪些策略?

(2)每种策略如何操作?

(3)这些思想体现了怎样的数学思想?

(4)还有其他收获或感想吗?

设计意图：

解题后，在教师的引导下学生的自主反思，才能使学生的解题技能提升为策略，并内化成自身的能力.

(五)目标检测

(必做题)

1. 若P，Q分别抛物线C： 与圆 上的两个动点，求 的最小值.

2.

2. 若P，Q分别是两条曲线上的任意两点，则称长度 的最小值为这两曲线之间的距离.给定直线 与椭圆 ，求直线l与椭圆D之间的距离.

(自主题)

3. 给定直线 与椭圆 ，请写出你自己设计的一个最值问题，并选择相应的策略加以解决.

设计意图：开放式地提出问题是学生地“弱点”，但在复习课的教学中，有必要给学生机会重新审视过去做过大量问题的特征，并尝试提出一些 “自己”的具有创造性的问题.同时这也是学生对问题及问题解决本质理解的进一步内化的过。

频道小编推荐：

频道小编推荐：

高一数学必修1《对数函数》教案

教学目标：①掌握对数函数的性质。

②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值 域及单调性。

③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。

教学重点与难点：对数函数的性质的应用。

教学过程设计：

⒈复习提问：对数函数的概念及性质。

⒉开始正课

1 比较数的大小

例 1 比较下列各组数的大小。

⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)

⑵log0.50.6 ,logЛ0.5 ,lnЛ

师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征?

生：这两个对数底相等。

师：那么对于两个底相等的对数如何比大小?

生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。

师：对，请叙述一下这道题的解题过程。

生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0

调递减，所以loga5.1>loga5.9 ;当a>1时，函数y=logax单调递增，所以loga5.1

板书：

解：Ⅰ)当0

∵5.1<5.9 ∴loga5.1>loga5.9

Ⅱ)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数，

∵5.1<5.9 ∴loga5.1

师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征?

生：这三个对数底、真数都不相等。

师：那么对于这三个对数如何比大小?

生：找“中间量”， log0.50.6>0，lnЛ>0，logЛ0.5<0;lnЛ>1，

log0.50.6<1，所以logЛ0.5< log0.50.6< lnЛ。

板书：略。

师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函数 的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数函数图象的位置关系来比大小。

2 函数的定义域, 值 域及单调性。

频道小编推荐：

频道小编推荐：

高一数学《圆的标准方程》教学设计

课 名

《圆的标准方程》

教 师

贾 XX

学科(版本)

北师大版的数学必修2

章 节

第二章第2节

学 时

1学时

年 级

高一年级

教材分析

圆是学生在初中已初步了解了圆的知识及前面学习了直线方程的基础上来进一步学习《圆的标准方程》，它既是前面圆的知识的复习延伸，又是后继学习圆与直线的位置关系奠定了基础。因此，本节课在本章中起着承上启下的重要作用。

教学目标

1. 知识与技能：探索并掌握圆的标准方程，能根据方程写出圆的坐标和圆的半径。

2. 过程与方法：通过圆的标准方程的学习，掌握求曲线方程的方法，领会数形结合的思想。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受学习成功的喜悦。

教学重点难点

以及措施

教学重点：圆的标准方程理解及运用

教学难点：根据不同条件，利用待定系数求圆的标准方程。

根据教学内容的特点及高一年级学生的年龄、认知特征，紧紧抓住课堂知识的结构关系，遵循“直观认知――操作体会――感悟知识特征――应用知识”的认知过程，设计出包括：观察、操作、思考、交流等内容的教学流程。并且充分利用现代化信息技术的教学手段提高教学效率。以此使学生获取知识，给学生独立操作、合作交流的机会。学法上注重让学生参与方程的推导过程，努力拓展学生思维的空间，促其在尝试中发现，讨论中明理，合作中成功，让学生真正体验知识的形成过程。

学习者分析

高一年级的学生从知识层面上已经掌握了圆的相关性质;从能力层面具备了一定的观察、分析和数据处理能力，对数学问题有自己个人的看法;从情感层面上学生思维活跃积极性高，但他们数学应用意识和语言表达的能力还有待加强。

教法设计

问题情境引入法 启发式教学法 讲授法

学法指导

自主学习法 讨论交流法 练习巩固法

教学准备

ppt课件 导学案

教学环节

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

情景引入

回顾复习

(2分钟)

1.观赏生活中有关圆的图片

2.回顾复习圆的定义，并观看圆的生成flash动画。

提问：直线可以用一个方程表示,那么圆可以用一个方程表示吗?

教师创设情景，引领学生感受圆。

教师提出问题。引导学生思考，引出本节主旨。

学生观赏圆的图片和动画，思考如何表示圆的方程。

生活中的图片展示，调动学生学习的积极性，让学生体会到园在日常生活中的广泛应用

自主学习

(5分钟)

1.介绍动点轨迹方程的求解步骤：

(1)建系：在图形中建立适当的坐标系;

(2)设点：用有序实数对(x,y)表示曲 线上任意一点M的坐标;

(3)列式：用坐标表示条件P(M)的方程 ;

(4)化简：对P(M)方程化简到最简形式;

2.学生自主学习圆的方程推导，并完成相应学案内容，

教师介绍求轨迹方程的步骤后，引导学生自学圆的标准方程

自主学习课本中圆的标准方程的推导过程，并完成导学案的内容，并当堂展示。

培养学生自主学习，获取知识的能力

合作探究(10分钟)

1.根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件有哪些?

2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：

(1)点在圆上

(2)点在圆外

(3)点在圆内

教师引导学生分组探讨，从旁巡视指导学生在自学和探讨中遇到的问题，并鼓励学生以小组为单位展示探究成果。

学生展开合作性的探讨，并陈述自己的研究成果。

通过合作探究和自我的展示，鼓励学生合作学习的品质

当堂训练(18分钟)

1.求下列圆的圆心坐标和半径

C1: x2+y2=5

C2: (x-3)2+y2=4

C3: x2+(y+1)2=a2(a≠0)

2. 以C(4,-6)为圆心,半径等于3的圆的标准方程

3. 设圆(x-a)2+(y-b)2=r2

则坐标原点的位置是( )

A.在圆外 B.在圆上

C.在圆内 D.与a的取值有关

4.写出下列各圆的标准方程(1)圆心在原点,半径等于5

(2)经过点P(5,1),圆心在点C(6,-2);

(3)以A(2,5),B(0,-1)为直径的圆.

5.下列方程分别表示什么图形

(1) x2+y2=0

(2) (x-1)2 =8-(y+2)2

(3) 《圆的标准方程》教学设计-贾伟

6.巩固提升：已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l：x-y+1=0上，求圆C的标准方程并作图

指导学生就不同条件下给出的圆心和半径关系，求解圆的标准方程这两个要素展开训练。

学生自主开展训练，并纠正学习中所遇到的问题

巩固所学知识，并查缺补漏。

回顾小结

(1分钟)

1.你学到了哪些知识?

2.你掌握了哪些技能?

3.你体会到了哪些数学思想?

采用提问的形式帮助学生回顾和分析本节所学。

学生思考并从知识、技能和思想方法上回顾总结。

培养学生归纳总结能力

作业布置

(1分钟)

课本87页习题2-2

A组的第1道题

布置训练任务

标记并完成相应的任务

检测学生掌握知识情况。

教学反思

本节教学主要遵循“回-导-学-展-讲-练-结”的高效课堂教学模式，遵循学生学习的主体地位，鼓励学生自主思考和探讨。

教学中要积极鼓励学生多思考总结，在判断点与圆的位置关系中，要遵从学生个性化的发展思路，鼓励学生创造性的解决问题。

频道小编推荐：

频道小编推荐：

高一数学必修1《集合的含义与表示》教案

教学目标：

(1) 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;

(2) 理解元素与集合的"属于"和"不属于"关系;

(3) 掌握常用数集及其记法;

教学重点：掌握集合的基本概念;

教学难点：元素与集合的关系;

教学过程：

一、引入课题

军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生?

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念--集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容

二、新课教学

(一)集合的有关概念

1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2. 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。

3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

(1) 大于3小于11的偶数;

(2) 我国的小河流;

(3) 非负奇数;

(4) 方程的解;

(5) 某校2007级新生;

(6) 血压很高的人;

(7) 著名的数学家;

(8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点

(9) 全班成绩好的学生。

对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4. 关于集合的元素的特征

(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

(3)无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

(4)集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

5. 元素与集合的关系;

(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作：a∈A

(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作：aA

例如，我们A表示"1~20以内的所有质数"组成的集合，则有3∈A

4A，等等。

6.集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C...表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,...表示。

7.常用的数集及记法：

非负整数集(或自然数集)，记作N;

正整数集，记作N*或N+;

整数集，记作Z;

有理数集，记作Q;

实数集，记作R;

(二)例题讲解：

例1.用"∈"或""符号填空：

(1)8 N; (2)0 N;

(3)-3 Z; (4) Q;

(5)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。

例2.已知集合P的元素为, 若3∈P且-1P，求实数m的值。

(三)课堂练习：

课本P5练习1;

归纳小结：

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了常用集合及其记法。

作业布置：

1.习题1.1，第1- 2题;

2.预习集合的表示方法。

频道小编推荐：

频道小编推荐：

高一数学《圆锥曲线问题的探究与发现》教案

一、问题导入，引发探究

师：我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具(如图)，所谓生活处处皆学问嘛，我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象：

两个全等的椭圆形卵，相互依偎旋转(动画)。你能通过所学解析几何知识，构造出这种有趣的现象吗?

二、实验探究，交流发现

探究1：卵之由来椭圆的形成

(1) 单个定椭圆的形成

椭圆的定义：平面内到两定点 、 的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆。(即若平面内的动点 到两定点 、 的距离之和等于常数(大于 )，则点 的轨迹为以 、 为焦点的椭圆。)

思考1：如何使 为定值?

(不妨将两条线段的长度和转化为一条线段，即在线段 的延长线上取点 ，使得 ，此时， 为定值则可转化为 为定值。)

思考2：若 为定值，则 点的轨迹是什么?定点 与 点轨迹的位置关系?

(以定点 为圆心， 为半径的圆。由于 > ，则点 在圆内。)

思考3：如何确定点 的位置，使得 ，且 ?

(线段 的中垂线与线段 的交点为点 。)

揭示思路来源：(高中数学选修2-1 P49 7) 如图，圆 的半径为定长 ， 是圆 内一个定点， 是圆上任意一点，线段 的垂直平分线l和半径 相交于点 ，当点 在圆上运动时，点 的轨迹是什么?为什么?

(设圆 的半径为 ，由椭圆定义， (常数)，且 ，所以当点 在圆周上运动时，点 的轨迹是以 为焦点的椭圆。)

图形计算器作图验证：以圆 与定点 所在直线为 轴， 中垂线为 轴建立直角坐标系，设圆半径 ， ，即圆 ，点 ，则 点轨迹是以以 为焦点的椭圆，椭圆方程 为 。

(2) 单个动椭圆的形成

思考4：构造一种动椭圆的方式

(由于椭圆形状不变，即离心率不变，而长轴长 为定值，则 也要为定值，因此可将圆内点 取在圆 的同心圆 上，当点 在圆 上动时，即可得到动椭圆。)

图形计算器作图验证：当圆内动点 取在圆 的同心圆 上，运动点 ，即得到动椭圆。

(3) 两个椭圆的形成

观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面，分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴 对称，且直线 过两椭圆公共点，所以直线 为两椭圆的公切线。

因而找到公切线 ，作椭圆 关于切线 的对称椭圆 即可。

探究2：卵之所依切线的判断与证明

线段 的垂直平分线 与椭圆的位置关系

(1) 利用图形计算器中的“图象分析”工具直观判断 与椭圆的位置关系.设圆 上动点 ，则线段 的中垂线 的方程为 ，将动点 的横坐标保存为变量 ，纵坐标保存为变量 ，随着 点的改变，在Graphs中画出相应的动直线 .用图形计算器中的“图象分析”工具找出椭圆所在区域内的直线 与椭圆的交点，拖动点 ，动态观测交点个数的变化，发现无论点 在何处，动直线 与椭圆只有唯一一个交点 ，因此判断直线 与椭圆相切，并可求出该切点 的坐标.也可以将椭圆方程与直线方程联立，用“代数”工具中的solve()求出方程组的解，从而判断根的情况.

(2) 证明椭圆 与直线 相切.

不妨设直线 ： ，其中 ， ，与椭圆方程联立 ，得 ，因此

，

将 ， ， 代入上式，用“代数”工具中的expand()化简式子，得 ，所以椭圆与直线 相切，切点为 .

(3) 证明由任意圆 上的动点 和圆内一点 确定的椭圆 与线段 中垂线 均相切(反证法)

因为椭圆 是点 的轨迹，而点 是直线 与线段 中垂线 的交点，所以点 既在椭圆 上，也在直线 上。因此，直线 与椭圆至少有一个公共点，即直线 与椭圆相切或相交。

假设直线 与椭圆相交，设另一个交点为 ( 与 不重合).因为 ，所以 ;又因为 ，

所以 为定值，而 ，矛盾.因此直线 与椭圆相切。

探究3：两卵相依对称旋转椭圆的形成与动画

当圆内动点 取在圆 的同心圆 上，作椭圆 关于切线 的对称椭圆 ，运动点 ，隐藏相关坐标系与辅助圆等图形，呈现两卵相互依偎旋转的有趣效果。

改变一些问题条件，进行深入探究与发现。

探究4：改变 点位置，探究点 轨迹

(1) 曲线判断：利用TI图形计算器作图分析，拖动点 ，当点 在定圆 内且不与圆心 重合时，交点 的轨迹是椭圆;当点 在定圆 外时，则 ，交点 的轨迹是双曲线;当点 与圆心 重合时，点 的轨迹是圆 的同心圆;当点 在圆周上时，点 的轨迹是是一点(圆心 ).

(2) 方程证明：圆 ，设点 ，可解得点 的轨迹方程为

，

当 或 时，点 的轨迹为圆心 ;

当 且 时，点 的轨迹方程为

，

当 时，点 的轨迹为圆: ;

当 且 时，点 的轨迹为椭圆;

当 或 时，点 的轨迹为双曲线。

探究5：改变切线位置，探究由切线得到的包络图形

查阅有关参考书籍，了解圆锥曲线的包络线，并利用图形计算器作出椭圆、双曲线的包络图形，自主探究抛物线的包络线(将定圆改为定直线)。

结论：所谓包络图，就是指有一条曲线按照一定运动规律运动，保留其所有瞬间位置的影像，会有一条曲线能够和该运动曲线所有位置相切，这条曲线就成为该运动曲线的包络线。

探究6：拓展延伸：椭圆切线的几个性质及其应用

性质1： 是椭圆的两个焦点，若点 是椭圆上异于长轴两端点的任一点，则 点的切线平分 的外角。

性质1′： 点处的法线(过 点且垂直于切线)平分 。(即为椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上。)

课后探究：阅读数学选修2-1 P75 阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用，了解双曲线、抛物线的光学性质。

练习1：已知 为椭圆 的左、右焦点，点 为椭圆上任一点，过焦点 向 作垂线，垂足为 ，则点 的轨迹是_____________，轨迹方程是_______________。

解：(1) 直观判断：作轨迹

(2) 严谨证明：圆的定义

由此得到：

性质2： 是椭圆的两个焦点， 是长轴的两个端点，过椭圆上异于 的任一点 的切线，过 做切线的垂线，垂足分别为 ，则 在以长轴为直径的圆上。

练习2：已知 为椭圆 的左、右焦点，点 为椭圆上任一点，直线 与椭圆相切与点 ，且 到 的垂线长分别为 ，求证： 为定值。

解：(1) 直观判断：作图

(2) 严谨证明：利用性质2及圆的相交弦性质，

由此得到：

性质3：已知椭圆为 ，则焦点 到椭圆任一切线的垂线长乘积等于 。

课后探究2：已知 为椭圆 的左、右焦点，点 为椭圆上任一点，直线 过点 ，且 到 的垂线长分别为 ，则

① 当 时，直线 与椭圆的位置关系;(相交)

② 当 时，直线 与椭圆的位置关系。(相离)

(类比直线与圆位置关系的几何法，此为直线与椭圆位置关系的几何法)

课后探究：双曲线、抛物线的切线是否有类似性质?

频道小编推荐：

频道小编推荐：